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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

  1. Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=306\cdot 5=30 escolhas ordenadas.
  2. Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
  3. Divida por dois: 302=15\frac{30}{2}=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Binômio de Newton

Questão 1

Médio

Qual é o termo constante de (x+2)4(x+2)^{4}?

  1. 2
  2. 8
  3. 16
  4. 32
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Resposta: 16

O termo constante ocorre ao escolher 2 nos quatro fatores: 24=162^{4}=16.

Questão 2

Difícil

Qual é o coeficiente de x4x^{4} em (1+2x)6(1+2x)^{6}?

  1. 60
  2. 120
  3. 240
  4. 960
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Resposta: 240

O coeficiente é C(6,4)⋅24=15⋅16=240C(6{,}4)\cdot 2^{4}=15\cdot 16=240.

Questão 3

Médio

Em um controle de 8 posições, de quantas formas exatamente 3 posições podem ser marcadas como prioritárias? Esse número é o coeficiente de x3x^{3} em (1+x)8(1+x)^{8}.

  1. 28
  2. 56
  3. 70
  4. 336
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Resposta: 56

Escolhemos 3 das 8 posições: C(8,3)=56C(8{,}3)=56, que é o coeficiente binomial correspondente.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.