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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

  1. Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=306\cdot 5=30 escolhas ordenadas.
  2. Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
  3. Divida por dois: 302=15\frac{30}{2}=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Inclusão-exclusão

Questão 1

Fácil

Em um grupo, 22 pessoas gostam de música, 17 de cinema e 9 de ambos. Quantas gostam de ao menos uma atividade?

  1. 30
  2. 31
  3. 39
  4. 48
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Resposta: 30

Pela inclusão-exclusão, 22+17−9=3022+17-9=30.

Questão 2

Difícil

Quantos inteiros de 1 a 200 são divisíveis por 3 ou 5?

  1. 80
  2. 93
  3. 106
  4. 120
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Resposta: 93

Há 66 múltiplos de 3, 40 de 5 e 13 de 15. Logo, 66+40−13=9366+40-13=93.

Questão 3

Fácil

Em uma pesquisa, 120 pessoas usam o recurso A, 80 usam o recurso B e 45 usam ambos. Quantas usam ao menos um dos recursos?

  1. 155
  2. 165
  3. 200
  4. 245
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Resposta: 155

Somamos os dois grupos e retiramos a interseção contada duas vezes: 120+80−45=155-45=155.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.