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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

  1. Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=306\cdot 5=30 escolhas ordenadas.
  2. Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
  3. Divida por dois: 302=15\frac{30}{2}=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Combinações

Questão 1

Fácil

Quantas comissões de 3 pessoas podem ser escolhidas entre 7?

  1. 21
  2. 35
  3. 105
  4. 210
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Resposta: 35

C(7,3)=7C(7{,}3)=7!/(3!4!)=35(3!4!)=35.

Questão 2

Difícil

Uma comissão de 4 deve ser escolhida entre 6 mulheres e 5 homens, com exatamente 2 de cada grupo. Quantas comissões existem?

  1. 75
  2. 100
  3. 150
  4. 225
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Resposta: 150

C(6,2)⋅C(5,2)=15⋅10=150C(6{,}2)\cdot C(5{,}2)=15\cdot 10=150.

Questão 3

Médio

Quantas diagonais possui um decágono?

  1. 20
  2. 30
  3. 35
  4. 45
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Resposta: 35

Escolhemos dois vértices e retiramos os 10 lados: C(10,2)−10=45−10=35C(10{,}2)-10=45-10=35.

Questão 4

Médio

Uma ONG selecionará 4 voluntários entre 12 inscritos para uma força-tarefa sem cargos internos. Quantas equipes são possíveis?

  1. 220
  2. 330
  3. 495
  4. 11.880
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Resposta: 495

A ordem não altera a equipe: C(12,4)=12⋅11⋅10⋅94⋅3⋅2⋅1=495C(12{,}4)=12\cdot 11\cdot 10\cdot \frac{9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=495.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.