Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.
DO CONCEITO À APLICAÇÃO
O que observar ao estudar
Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.
Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.
Uma situação para resolver
Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?
Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=30 escolhas ordenadas.
Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
Divida por dois: 230=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.
Conclusão:15 duplas diferentes.
Caminhos e recorrências
Questão 1
Fácil
Um entregador percorre uma malha usando 4 passos para leste e 3 para norte, sem recuar. Quantas rotas mínimas existem?
21
28
35
49
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Resposta: 35
Uma rota é uma sequência de 7 passos; escolhemos as 3 posições dos passos ao norte: C(7,3)=35.
Questão 2
Difícil
Na rota do exercício anterior, o cruzamento atingido após 2 passos a leste e 1 ao norte está bloqueado. Quantas das 35 rotas mínimas continuam disponíveis?
17
18
24
29
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Resposta: 17
Passam pelo bloqueio C(3,1)⋅C(4,2)=3⋅6=18 rotas. Restam 35−18=17.
Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.