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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

  1. Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=306\cdot 5=30 escolhas ordenadas.
  2. Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
  3. Divida por dois: 302=15\frac{30}{2}=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Combinações com repetição

Questão 1

Fácil

Quantas soluções inteiras não negativas possui x+y=7x+y=7?

  1. 7
  2. 8
  3. 14
  4. 28
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Resposta: 8

x pode assumir os valores de 0 a 7, determinando y; são 8 soluções. Também C(8,1)=8C(8{,}1)=8.

Questão 2

Difícil

Quantas soluções inteiras positivas possui x1+x2+x3+x4=12x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12?

  1. 84
  2. 120
  3. 165
  4. 455
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Resposta: 165

Retire 1 de cada variável e distribua 8 unidades não negativas: C(8+4−1,4−1)=C(11,3)=165C(8+4-1{,}4-1)=C(11{,}3)=165.

Questão 3

Médio

Oito caixas idênticas serão distribuídas entre 3 depósitos distintos, permitindo depósitos vazios. Quantas distribuições existem?

  1. 28
  2. 36
  3. 45
  4. 56
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Resposta: 45

Modelamos x1+x2+x3=8x_{1}+x_{2}+x_{3}=8 com termos não negativos. Por estrelas e barras, C(10,2)=45C(10{,}2)=45.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.