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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

  1. Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=306\cdot 5=30 escolhas ordenadas.
  2. Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
  3. Divida por dois: 302=15\frac{30}{2}=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Estratégias e árvores

Questão 1

Fácil

Uma árvore possui 2 ramos no primeiro nível e, a partir de cada um, 3 ramos no segundo. Quantas folhas há?

  1. 5
  2. 6
  3. 8
  4. 9
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 6

Cada um dos 2 primeiros ramos gera 3 folhas: 2⋅3=62\cdot 3=6.

Questão 2

Médio

Ao listar pares ordenados (a,b) com a∈{1,2,3}a\in \{1{,}2,3\} e b∈{1,2,3}b\in \{1{,}2,3\}, sob a condição a<ba<b, quantos pares surgem?

  1. 2
  2. 3
  3. 6
  4. 9
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 3

Os pares válidos são (1,2), (1,3) e (2,3).

Questão 3

Fácil

Um aplicativo de refeições oferece 3 bases e, para cada base, 2 proteínas. Se uma árvore registra uma escolha em cada nível, quantas folhas ela terá?

  1. 5
  2. 6
  3. 8
  4. 9
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 6

Cada caminho escolhe uma base e uma proteína. Há 3⋅2=63\cdot 2=6 caminhos completos, portanto 6 folhas.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.