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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

  1. Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=306\cdot 5=30 escolhas ordenadas.
  2. Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
  3. Divida por dois: 302=15\frac{30}{2}=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Fatorial e permutações

Questão 1

Fácil

Quantos anagramas distintos possui a palavra SOL?

  1. 3
  2. 6
  3. 9
  4. 12
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Resposta: 6

As três letras são distintas: 3!=6.

Questão 2

Médio

Quantas filas de 7 pessoas mantêm Ana e Beto juntos?

  1. 720
  2. 1.440
  3. 2.520
  4. 5.040
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Resposta: 1.440

Trate o par como bloco: 6! ordens das unidades e 2 ordens internas, total 2·6!=1.440.

Questão 3

Médio

Seis protótipos distintos serão alinhados em uma vitrine, mas os dois premiados devem ocupar as extremidades. Quantas organizações são possíveis?

  1. 24
  2. 48
  3. 120
  4. 240
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Resposta: 48

Os premiados podem trocar de extremidade de 2 maneiras, e os quatro restantes ocupam o meio em 4! maneiras. Total: 2⋅24=482\cdot 24=48.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.