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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

  1. Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem 6⋅5=306\cdot 5=30 escolhas ordenadas.
  2. Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
  3. Divida por dois: 302=15\frac{30}{2}=15 duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Permutações especiais

Questão 1

Difícil

Quantos anagramas distintos possui a palavra ARARA?

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 120
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 10

São 5!/(3!2!)=10(3!2!)=10, pois A repete 3 vezes e R, 2.

Questão 2

Médio

Um painel usa 5 peças em linha: 2 azuis idênticas, 2 verdes idênticas e 1 amarela. Quantos padrões distintos podem ser montados?

  1. 20
  2. 30
  3. 60
  4. 120
Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 30

Partimos de 5! ordens e dividimos por 2! para cada par de cores repetidas: 5!/(2!2!)=30(2!2!)=30.

Questão 3

Difícil

Oito representantes se sentam em uma mesa redonda sem lugares numerados. Considerando iguais as disposições obtidas apenas por rotação, quantas organizações existem?

  1. 720
  2. 2.520
  3. 5.040
  4. 40.320
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Resposta: 5.040

Fixamos uma pessoa como referência e permutamos as outras sete: (8-1)!=7!=5.040.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.