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Exercícios resolvidos de Análise Combinatória

Conte possibilidades sem listar caso a caso, usando princípios, permutações, arranjos e combinações. Resolva no papel antes de abrir o gabarito e compare seu raciocínio com a resolução comentada.

DO CONCEITO À APLICAÇÃO

O que observar ao estudar

Objetivo: Decidir se a ordem dos elementos altera o resultado antes de escolher uma fórmula.

Antes de começar: Princípio multiplicativo e contagem sem repetição.

Uma situação para resolver

Entre seis estudantes, serão escolhidos dois representantes com a mesma função. Quantas duplas diferentes são possíveis?

Se escolhemos uma pessoa e depois outra, existem $6\cdot 5=30$ escolhas ordenadas.
Cada dupla foi contada duas vezes: Ana–Bruno e Bruno–Ana representam o mesmo grupo.
Divida por dois: $\frac{30}{2}=15$ duplas. Se as funções fossem diferentes, essa divisão não seria feita.

Conclusão: 15 duplas diferentes.

Princípio das gavetas

Questão 1

Fácil

Qual é o menor número de pessoas que garante duas com o mesmo mês de nascimento?

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 13

Com 12 pessoas ainda seria possível uma em cada mês; a 13ª força uma repetição.

Questão 2

Médio

Entre 31 inteiros, quantos no mínimo possuem o mesmo resto na divisão por 6?

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 6

Há 6 restos possíveis. Pelo princípio das gavetas, alguma classe contém ao menos ⌈ $\frac{31}{6}$ ⌉=6 inteiros.

Questão 3

Médio

Quarenta e uma amostras são classificadas em 8 faixas de temperatura. Quantas amostras, no mínimo, alguma faixa deverá conter?

Ver resposta e resolução comentada

Resposta: 6

Pelo princípio das gavetas, alguma faixa contém pelo menos teto $(\frac{41}{8})=6$ amostras.

Para aprofundar os conceitos e consultar as referências, abra a apostila de Análise Combinatória. As classificações de dificuldade são orientativas, não uma avaliação individual do aluno.